( NÃO é MATEMÁTICA BÁSICA ) POTENCIAÇÃO COM NÚMEROS COMPLEXOS | @Professor Theago

Na aula de matemática de hoje, vamos definitivamente fazer algo que NÃO é MATEMÁTICA BÁSICA, faremos POTENCIAÇÃO COM NÚMEROS COMPLEXOS. Para isso, teremos que passar pela fórmula de Euler, exponencial e logaritmo complexos. Fica comigo nessa aula e vamos aprender juntos.

A fórmula de Euler, em homenagem a Leonhard Euler, é uma fórmula matemática do campo específico da análise complexa que mostra a relação entre funções trigonométricas e exponenciais (a identidade de Euler é um caso especial da fórmula de Euler). A fórmula é: e^{ix}=cos(x)+isin(x). Para demonstrar isso precisamos de conversar sobre expansão em serie
de Taylor e não farei isso hoje. Apenas aceite, blz?

Usando a fórmula de Euler, podemos fazer a exponencial complexa e logo voce nota que essa exponencial é periódica. Com isso, para definir o log precisamos ter mais cuidado. Para isso, vamos denotar por Ln(z) o ramo principal logaritmo que será dados por Ln(z)=ln(|z|)+itheta onde esse theta aqui é o argumento principal do número complexo.

Para calcular esse argumento principal, eu tenho um video
completo como calcular o argumento principal em qualquer
quadrante do plano de argand-gauss. Link na descrição e
em algum lugar aqui em cima.

Pronto, temos todos os elementos e vamos calcular (4+3i)^i da seguinte forma
(4+3i)^i=exp(Ln((4+3i)^i))) que é o mesmo que
(4+3i)^i=exp(iLn((4+3i)))

Ja sabemos como calcular o Ln(4+3i)=ln(5)+iarctan(3/4) e portanto
(4+3i)^i = -0.02+ i0.52

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00:00 POTENCIAÇÃO COM NÚMEROS COMPLEXOS
00:50 Formula de Euler
01:14 Logaritmo Complexo: ramo principal
02:37 Argumento Principal de um Número Complexo
03:18 Resolvendo finalmente ...
05:01 One more thing...

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